题目

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线交C于A、B两点，若AB⊥AF₂，且|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列，则C的离心率为（　　）
A.

1

2

B.

2

2

C.

3

3

D.

2

3

提问时间：2020-11-01

答案

有定义易知|AB|=

4

3

a
设|AF₁|=x
则|AF₂|=2a-x|BF₁|=

4

3

a-x|BF₂|=2a-（

4

3

a-x）=

2

3

a+x
∵AB⊥AF₂
∴|AF₁|²+|AF₂|²=4c²
|AF₂|²+|AB|²=|BF₂|²
即：

(2a−x)2+x2＝4c2① (2a−x)2+( 4 3 a)2＝ ( 2 3 a+x)2 ②

由②得：x=a
代入①，有（2a-a）²+a²=4c² 即a²=2c²
∴离心率e=

c

a

=

2

2

故选B．

首先利用椭圆定义和|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列，能够得出|AB|=

4

3

a，然后|AF₁|=x，进而表示出|AF₂|=2a-x，|BF₁|=

4

3

a-x，|BF₂|=2a-（

4

3

a-x）=

2

3

a+x
；再由AB⊥AF₂利用勾股定理得出|AF₁|²+|AF₂|²=4c²，|AF₂|²+|AB|²=|BF²|²，通过整理能够得出a²=2c²，即可求出离心率．

本题考点：椭圆的简单性质；等差数列的性质．

考点点评：本题考查了等差数列的性质以及椭圆的简单性质，由椭圆定义和|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列，能够得出|AB|=

4

3

a是解题的关键，属于中档题．