题目

如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从点D出发沿DA向终点A运动
同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC,交AC于点E,动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度,运动时间为x秒,当点P运动到点A时,P、Q两

点同时停止运动．设PE=y；
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）探究：当x为何值时,四边形PQBE为梯形?
（3）是否存在这样的点P和点Q,使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值；若不存在,请说明理由．
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提问时间：2020-10-30

答案

1
|PD|=1·x;
则|PA|=AD-PD=BC-PD=4-x;
PE/CD=PA/AD→PE=(PA/AD)·CD
即y=(3/4)(4-x).
2
四边形PQBE为梯形时,显然PQ∥BE.
则∠PQE=∠BEQ
则∠AQP=∠BEC
而由于AD∥BC,→∠CAD=∠ACB
所以△APQ∽△BEC
→AP/BC=AQ/CE
即(4-x)/4=(1·x)/CE
而CE=PD·(AE/PA)
=x·( (AC/CD)·y/(4-x) )
=x·( (√(3²+4²)/3)·y/(4-x) )
=x·( (5/3)·(3/4)(4-x)/(4-x) )
=(5/4)x
因此
(4-x)/4=x/( (5/4)x )
x=4/5.
3
存在.分四种情况：
当Q在线段AE上时：QE=AE-AQ=(5/4)(4-x) -1·x=5- (9/4)·x
①当QE=PE时,
5- (9/4)·x=y=(3/4)(4-x)=3-(3/4)·x
→(3/2)x=2,
x=4/3.
②当QP=QE时,∠QPE=∠QEP
∵∠APQ+∠QPE=90° ∠PAQ+∠QEP=90°
∴∠APQ=∠PAQ ∴AQ=QP=QE
∴ x= 5- (9/4)·x
∴x=20/13
③当QP=PE时,过P作PF⊥QE于F,
则FE= QE=5- (9/4)·x
∵PE∥DC ∴∠AEP=∠ACD
∴cos∠AEP= cos∠ACD= 3/5
∴ x=28/27
④当点Q在线段EC上时,⊿PQE只能是钝角三角形,
∴PE=EQ 即：PE=AQ-AE
∴x=8/3
综上,当4/3 或 20/13或28/27 或8/3 时,⊿PQE为等腰三角形.