题目

在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).1求数列{an}的通项
2、若λan+1/an+1≥λ对任意n≥2恒成立,求实数λ的取值范围
3、设bn=√an,{bn}的前n项和为Tn,求证：Tn＞2/3[根号﹙3n+1﹚ -1]

提问时间：2020-10-30

答案

首先证明an≠0(n>=1),这个用反证法很好证,然后再像一楼一样求解,第一问就解决了.an= 1/（3n -2）.
对于第二问,由第一问结论,an的范围是(0,1],将λan+1/an+1≥λ变换：1/an+1≥λ(1-an),（n=1恒成立,因此只讨论n>=2,即an<=1/4的情形)
(1/an+1)/(1-an)≥λ,不等式左边看成一个关于an的函数,定义域为(0,1/4],可以得出其最小值为20/3,当且仅当an=1/4(n=2时).因此λ<=20/3为所求范围.
第三问用数学归纳法,只需要证明1/√3n+1>2/3(√3n+4-√3n+1),右边分母有理化一下,最后再整理:√3n+4+√3n+1>2√3n+1,这是显然的.