题目

f(x)=2cos^x+根号3sin2x+a,(1)若x属于R,求f(x)的递增区间
f(x)=2cos^x+根号3*sin2x+a,
(1)若x属于R,求f(x)的递增区间
(2)当x属于[0,pai/2]时,f(x)<=4恒成立.求实数a取之范围

提问时间：2020-10-30

答案

1)导数法可以,也可以利用三角变换的方法.
f(x)=2cos^x+√3*sin2x+a
=cos2x+1+√3sin2x+a
=cos2x+√3sin2x+a+1
=2*(1/2cos2x+√3/2sin2x)+a+1
=2*sin(2x+1/6π)+a+1
设Y=2x+1/6π,因为正弦函数的递增区间为(2Kπ-1/2π,2Kπ+1/2π),
即当Y∈(2Kπ-π/2,2Kπ+π/2)时函数递增,即x∈(Kπ-π/3,Kπ+π/6)为函数的递增区间.
2)当x∈[0,π/2]时,Y=2x+1/6π∈[π/6,7π/6],此时只需研究函数f(Y)=2sinY+a+1,在[π/6,7π/6]区间,当Y=π/2时函数有最大值=2+a+1,另2+a+1≤4,得到a≤1.得出结论.
如果有算错的地方,请见谅!