题目

在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列，则a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列．
（1）写出这个命题的逆命题；
（2）判断逆命题是否为真？并给出证明．

提问时间：2020-10-30

答案

（1）在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列，则S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．
（2）数列{a_n}的首项为a₁，公比为q．由题意知：2a_m+2=a_m+a_m+1
即2•a₁•q^m+1=a₁•q^m-1+a₁•q^m∵a₁≠0，q≠0，∴2q²-q-1=0，∴q＝1或q＝−

1

2

当q=1时，有S_m=ma₁，S_m+2=（m+2）a₁，S_m+1=（m+1）a₁，
显然：2S_m+2≠S_m+S_m+1．此时逆命题为假．
当q＝−

1

2

时，有2Sm+2＝

2a1(1−(− 1 2 )m+2)

1+ 1 2

＝

4

3

a1[1−(−

1

2

)m+2]，Sm+Sm+1＝

a1(1−(− 1 2 )m)

1+ 1 2

+

2a1(1−(− 1 2 )m+)

1+ 1 2

＝

4

3

a1[1−(−

1

2

)m+2]
∴2S_m+2=S_m+S_m+1，此时逆命题为真．