题目

线性代数,已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关,问
1)向量组a1,a2,a3是否线性无关?并说明理由
2）常数满足何种条件时,向量组a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关?并说明理由
主要是第二题,

提问时间：2020-10-30

答案

1)向量组a1,a2,a3是线性无关
用反证法
若a1,a2,a3是线性相关
那么存在不全为零的实数x,y,z使得
xa1+ya2+za3=0
即xa1+ya2+za3+0a4=0
因为x,y,z,0中至少有一个不为0,所以a1,a2,a3,a4是线性相关
矛盾.
所以a1,a2,a3是线性无关
2)
考虑线性相关的情形,剩余的就是线性无关的
若a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性相关
则存在不全为0的实数x,y,z使
x（a1+a2）+y（a2+a3）+z（ma3+a1)=0
整理得
(x+z)a1+(x+y)a2+(y+mz)a3=0
有基定理得
x+z=0
x+y=0
y+mz=0
由得
y=z
代入得
y(m+1)=0
即y=0或m=-1
而y=0是x=y=z=0,不符合要求
所以m=-1时a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性相关
因此m不等于-1时a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关