题目

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为BB₁，CC₁的中点，那么异面直线AE与D₁F所成角的余弦值为 ___ ．

提问时间：2020-10-30

答案

设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），E（2，2，1）D₁（0，0，2），F（0，2，1）
∴

AE

=(0，2，1)，

D1F

=（0，2，-1），
设异面直线AE与D₁F所成角为θ，
则cosθ=|cos＜

AE

，

D1F

＞|=|

0+4-1

5 • 5

|=

3

5

．
故答案为：

3

5

．

设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，则

AE

＝(0，2，1)，

D1F

=（0，2，-1），由此利用向量法能够求出异面直线AE与D₁F所成角的余弦值．

本题考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角．

考点点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．