题目

高中数学题(有关于导数的应用）
已知函数f(x)=x^3+alnx
(1）当a=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值
（2）若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞）上是单调函数,求实数a的取值范围

提问时间：2020-10-30

答案

很简单,我假设你已经懂得一元三次多项式的根的公式表达式.
1)f(x)=x立方+alnx 当a=-2时
f(x)=x立方-2lnx 则f'(x)=3x平方-2/x=(3x立方-2)/x
对于一元三次多项式 3x立方-2=0 根据一元三次多项式的根的表达式
得到3x立方-2=3[x-三次根号下(2/3)][x平方+三次根号下(2/3)+三次根号下(4/9)]
容易知道该方程后面的一项显然是大于0的
所以只需要计算 x[x-三次根号下(2/3)] 且x≠0
则有极值点 x=三次根号下(2/3) 容易判断这是极小点 极小值为f[三次根号下(2/3)]=2/3-2/3ln(2/3)
单调区间在(-∞,0)上递增,(0,三次根号下(2/3)]上递减,[三次根号下(2/3),+∞)递减
2)g(x)=f(x)+2/x=x立方+alnx+2/x 在[1,+∞)上单调 则 g'(x)=3x平方+a/x-2/x平方=[3x四次方+ax-2]/x平方 其符号不变
设u(x)=3x四次方+ax-2显然要求其符号也是不变的 u'(x)=12x立方+a 在[1,+∞)
如果 三次根号下(a/12)12+a>0 故此时 u'(x)>0 3+a-2>0得到a>-1
此时 -1(12/15)*四次根号下(120)
容易求得 a>等于12立方
综上所述 a>-1