题目

过椭圆3X^2+4Y^2=18的左焦点交斜率为1的直线交椭圆于A,B俩点,则AB长多少?

提问时间：2020-10-29

答案

椭圆方程为:x^2/16+y^2/12=1,
a=4,b=2√3,c=2,
离心率e=c/a=1/2,
用点差法,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1^2/16+y1^2/12=1.(1)
x2^2/16+y2^2/12=1.(2)
(1)-(2)式,
3/4+[(y1-y2)/(x1-x2)][(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=0
其中(y1-y2)/(x1-x2)为直线斜率k,
(y1+y2)/2和(x1+x2)/2分别是AB中点纵、横坐标为（-1,1）,
∴3/4+k*(-1)=0,
∴k=3/4,
设AB与X轴成角为θ,
tanθ=k=3/4,
secθ=√（1+9/16）=5/4,
cosθ=4/5,
由经焦点弦长公式：
|AB|=(2b^2/a)/[1-e^2(cosθ)^2]=(2*12/4)/[1-(1/2)^2*(4/5)^2]
=50/7.
∴|AB|=50/7.