题目

使得2n+1能整除n^3+2008的正整数n有____个?

提问时间：2020-10-29

答案

这是个数论的同余问题.
首先用n^3+2008除以2n+1
n^3+2008
=(1/2)n^2(2n+1)-(1/2)n^2+2008
=(1/2)n^2(2n+1)-(1/4)n(2n+1)+(1/4)n+2008
=(1/2)n^2(2n+1)-(1/4)n(2n+1)+(1/8)(2n+1)+2008-(1/8)
由此可见用n^3+2008除以2n+1得到的是
=(1/2)n^2-(1/4)n+1/8+[2008-(1/8)]/(2n+1)
然后再分析,由前两项可以得出,n一定是4的倍数.
接着看最后一项,16063/(8*（2n+1）).
因为16063不可能是8的倍数,所以无论n是什么数字都不可能使得2n+1能整除n^3+2008.
所以不存在这样的n.