题目

已知三个质数m，n，p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则m²+n²+p²=______．

提问时间：2020-10-29

答案

由已知，mnp=5（m+n+p），
由于m，n，p均为质数，5（m+n+p）中含有因数5，
∴m，n，p中一定有一个是5，
不妨设m=5．则5np=5（5+n+p），即np=5+n+p，
∴np-n-p+1=6即（n-1）（p-1）=6，
又n，p均为质数，
∴

n−1＝1 p−1＝6

或

n−1＝2 p−1＝3

，
解得

n＝2 p＝7

或

n＝3 p＝4

（不合题意舍去）
∴m=5，n=2，p=7，
∴m²+n²+p²=25+4+49=78．

根据已知可得mnp=5（m+n+p），由于m，n，p是三个质数，可知m，n，p中一定有一个是5．不妨设m=5，代入mnp=5（m+n+p），可得（n-1）（p-1）=6，从而得到方程

n−1＝1 p−1＝6

或

n−1＝2 p−1＝3

，求得m，n，p的值，再代入求得m²+n²+p²的值．

本题考点：质数与合数．

考点点评：本题考查了质数的乘积问题，解题的关键是确定三个质数中有一个是5，代入后通过分解质因数，得到方程组．