题目

已知数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

提问时间：2020-10-27

答案

（Ⅰ）由S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）
得 S_n=2S_n-1+（n-1）+5（n∈N^*，n≥2）
两式相减得 a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
即  b_n+1=2b_n（n∈N^*，n≥2），
又a₂=S₂-S₁=S₁+1+5=a₁+6=11
∴b₂=a₂+1=12，b₁=a₁+1=6
∴b₂=2b₁．
∴数列{b_n}是首项为6，公比为2的等比数列
∴bn＝6•2n−1＝3•2n．
（Ⅱ）法一
由（Ⅰ）知an＝3•2n−1，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=3×2+3×2²+…+3•2ⁿ-n=3×

2(2n−1)

2−1

−n=6•2ⁿ-n-6=3•2ⁿ⁺¹-n-6．  
（Ⅱ）法二
由已知S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）①
设S_n+1+c（n+1）+d=2（S_n+cn+d）
整理得  S_n+1=2S_n+cn+d-c②
对照①、②，得  c=1，d=6，
即①等价于 S_n+1+（n+1）+6=2（S_n+n+6）
∴数列{S_n+n+6}是等比数列，首项为S₁+1+6=a₁+1+6=12，公比为q=2
∴Sn+n+6＝12•2n−1＝3•2n+1
∴Sn＝3•2n+1−n−6．