题目
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
(Ⅰ)设bn=an+1,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.
(Ⅰ)设bn=an+1,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.
提问时间:2020-10-27
答案
(Ⅰ)由Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)
得 Sn=2Sn-1+(n-1)+5(n∈N*,n≥2)
两式相减得 an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1)
即 bn+1=2bn(n∈N*,n≥2),
又a2=S2-S1=S1+1+5=a1+6=11
∴b2=a2+1=12,b1=a1+1=6
∴b2=2b1.
∴数列{bn}是首项为6,公比为2的等比数列
∴bn=6•2n−1=3•2n.
(Ⅱ)法一
由(Ⅰ)知an=3•2n−1,
∴Sn=a1+a2+…+an=3×2+3×22+…+3•2n-n=3×
−n=6•2n-n-6=3•2n+1-n-6.
(Ⅱ)法二
由已知Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)①
设Sn+1+c(n+1)+d=2(Sn+cn+d)
整理得 Sn+1=2Sn+cn+d-c②
对照①、②,得 c=1,d=6,
即①等价于 Sn+1+(n+1)+6=2(Sn+n+6)
∴数列{Sn+n+6}是等比数列,首项为S1+1+6=a1+1+6=12,公比为q=2
∴Sn+n+6=12•2n−1=3•2n+1
∴Sn=3•2n+1−n−6.
得 Sn=2Sn-1+(n-1)+5(n∈N*,n≥2)
两式相减得 an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1)
即 bn+1=2bn(n∈N*,n≥2),
又a2=S2-S1=S1+1+5=a1+6=11
∴b2=a2+1=12,b1=a1+1=6
∴b2=2b1.
∴数列{bn}是首项为6,公比为2的等比数列
∴bn=6•2n−1=3•2n.
(Ⅱ)法一
由(Ⅰ)知an=3•2n−1,
∴Sn=a1+a2+…+an=3×2+3×22+…+3•2n-n=3×
2(2n−1) |
2−1 |
(Ⅱ)法二
由已知Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)①
设Sn+1+c(n+1)+d=2(Sn+cn+d)
整理得 Sn+1=2Sn+cn+d-c②
对照①、②,得 c=1,d=6,
即①等价于 Sn+1+(n+1)+6=2(Sn+n+6)
∴数列{Sn+n+6}是等比数列,首项为S1+1+6=a1+1+6=12,公比为q=2
∴Sn+n+6=12•2n−1=3•2n+1
∴Sn=3•2n+1−n−6.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1a man named Gorge comes to the trees 英文翻译
- 2已知sina+cosa=1/5,a属于(0,兀),cot的值是_________
- 30.112L的H2O中氢原子的物质的量?
- 4Are you in control of your habits,or are they( )(control)you
- 5After the accident,my back was very painful for a long time.was very painful=was a pain 可以么?
- 6如图,四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF:FC=2:3,DH:HA=2:3.求证:EF、GH、BD交于一点.
- 7真情邀请英语高手用英语回答小问题
- 8考研的话,复习数学需要看课本吗?是不是只看李永乐的复习全书就行了
- 9用适当形式填空Nick___(not go)to the zoo on sunday
- 10散步适合各个年龄段的人 英语翻译 Walking is ___ ___ ____ ___.
热门考点
- 1请问哪些动物要靠冬眠过冬?除青蛙、蛇外,小学一年级的题目.
- 2求四面荷花三面柳,一城山色半城湖.的意思
- 3the,the,door,is,behind怎么连成一句
- 4四棱锥P-ABCD ,AB垂直AD ,CD垂直AD,PA垂直底面ABCD,PA等于AD等于2AB等于2,M为PC中点,求BM平行面PAD
- 5这里经常下雨,昨夜下了好多雨.用英语翻译
- 6绿叶中色素的提取和分离中提取液和层析液是什么,
- 7C方等于A方加B方证明A,B,C不可能都是奇数
- 8如果……谁还会……谁还愿意……造句 最好有3个
- 9一项工作甲单独干15小时完成乙单独干20小时完成如果甲乙先合作若干小时后由乙接着干乙又做了5小时才完成任务,甲乙共工作了几小时
- 10证明对于任意向量a,b都有| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|,并指出等号成立的条件