题目

设f(x)是定义在正实数集上的函数,并且对任意的正实数xy,恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立
求证
(1) f(1/x)=-f(x)
(2) 若n属于正实数集,则f(x/n)=f(x)-f(n)

提问时间：2020-10-25

答案

证明：
（1）
由于：f(xy)=f(x)+f(y)
则：令x=y=1
则有：
f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=2f(1)
则：f(1)=0
再令:y=1/x
则有：
f[x*(1/x)]=f(x)+f(1/x)
f(1)=f(x)+f(1/x)
又：f(1)=0
则：
0=f(x)+f(1/x)
f(1/x)=-f(x)
(2)由于：
n属于正实数集
则：（1/n）属于正实数集
则有：
f[x/n]+f(n)=f[(x/n)*n]
即：
f(x/n)=f(x)-f(n)