题目

高二数学上,7.6圆的方程相关问题
（各位,拜托推理过程得详细一点,因为我是自己预习的,所以理解起来可能有点困难,书上看着很简单,可一看资料书就傻眼了.大家能答多少答多少吧,谢谢各位了!）
（1）圆x²+y²=r²的斜率为k的切线方程为什么是y=kx±[√(k²+1) ]r?

（2）为什么一个圆直径的端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=O?

(3)为什么要设椭圆方程为x²/a² + y²/b²=1?

（4）为什么过原点,标准方程要设为(x-a)²+（y-b)²=a²+b²；圆心在x轴上且过原点要设为：(x-a)²+y²=a²；圆心在y轴上且过原点要设为：x²+（y-b)²=b²?

（5）为什么与x轴相切,标准方程要设为(x-a)²+（y-b)²=b²?此时一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0,但为什么D²-4F=0?
为什么与y轴相切,标准方程要设为(x-a)²+（y-b)²=a²?此时一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0,但为什么E²-4F=0?

(6）从圆x²+y²+Dx+Ey+F=0外一点P0(x0,y0)向圆引切线有两条,为什么切线长
为 √（x0²+y0²+Dx0+Ey0+F）?

（7）在求圆的切线方程中,为什么将圆方程中的x、y换成（x+x0)/2、(y+y0)/2可得切线方程?

（8）为什么圆(x-a)²+（y-b)²=r²上任一点P（x0,y0)处的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r²?

提问时间：2020-10-24

答案

LZ很好学啊~
(1),(6),(7)忘了
(2),(8)都可以利用向量的想法来理解.
(2)圆上除了AB两点以外,任意点P(x,y)到AB的向量分别为:
PA{(x-x1),(y-y1)} PB{(x-x2),(y-y2)}
又因为直径对应的圆周角为直角,所以PA和PB垂直,即得结论.
(8)切点P(x0,y0)到圆心O(a,b)&切线上一点Q(x,y)的向量分别:
PO{(x0-a),(y0-b)} PQ{(x0-x),(y0-y)}
又因为半径与切线垂直,所以PO和PQ垂直,即得结论(LZ可能打错了).
(3)MS就是这么定义的.
(4)圆方程x²+y²=r²中,r就是半径咯,那如果
过原点,圆心(a,b)到原点(0,0)的距离就是半径,勾股定理,r²=a²+b²
同理,圆心在x轴上,r=a & b=0；圆心在y轴上,a=0 & r=b.
(5)跟(4)一样的道理呀,与x轴相切,圆心(a,b)到x轴(x,0)的距离就是半径b
对于一般方程,与x轴相切,则切点只有一个为(x,0),即将y=0带入方程(x²+Dx+F=0),delta平方=D²-4F=0.y轴同理.