题目

P为双曲线x^2/16-y^2/20=1右支上一点,MN分别是圆（x+6）^2+y^2=4和（x-6）^2+y^2=1上点,求PM-PN的最大值

提问时间：2020-10-22

答案

易知双曲线的焦点为F2（6,0）和F1（-6,0）,正好是两个圆的圆心
以F1为圆心的圆的半径为r1=2
以F2为圆心的圆的半径为r2=1
则点PMF1可以构成一个三角形；点PNF2也可以构成一个三角形,这些三角形都符合“两边之和大于第三边”和“两边之差小于第三边”的定理.
在△MF1P中：
|PM|<|PF1|+r1①
在△PF2N中：
-|PN|<-|PF2|+r2②
由①②相加,得：
|PM|-|PN|<|PF1|-|PF2|+r1+r2
由于|PF1|-|PF2|=2a=8,r1+r2=3
则|PM|-|PN|<11③
当然,这个结果仅仅是在三角形之内
但是,如果当三个点在同一直线上时,它们就无法构成一个三角形,而是构成了一条线段.这个时候就可以取到等号.
当M与PF1共线且M在PF1的左侧时,①的式子就变成了|PM|=|PF1|+r1
同理,当N与PF2共线,且N在PF2的中间时,②的式子就变成了-|PN|=-|PF2|+r2
这样,③就变成了|PM|-|PN|=11
因此11就是最大值了,这是当且仅当3点共线的时候的.
当然,最小值也可以求出来的,不过此题没要求.不过真的要求,同理也可以很快求得.