题目
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知向量
=(cosA,cosB)、
=(2c+b,a),且
⊥
.
(1)求角A的大小;
(2)若a=4,求△ABC面积的最大值.
m |
n |
m |
n |
(1)求角A的大小;
(2)若a=4,求△ABC面积的最大值.
提问时间:2020-10-22
答案
(1)∵
⊥
∴
•
=(cosA,cosB)•(2c+b,a)=(2c+b)cosA+acosB=0
由正弦定理可得(2sinC+sinB)cosA+sinAcosB=0,
即2sinCcosA+(sinBcosA+sinAcosB)=0,
整理可得sinC+2sinCcosA=0.
∵0<C<π,sinC>0,
∴cosA=-
,
∴A=
;
(2)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,
即16=b2+c2+bc≥3bc,
故bc≤
.
故△ABC的面积为S=
bcsinA=
bc≤
,
当且仅当b=c=
时,△ABC面积取得最大值
.
m |
n |
m |
n |
由正弦定理可得(2sinC+sinB)cosA+sinAcosB=0,
即2sinCcosA+(sinBcosA+sinAcosB)=0,
整理可得sinC+2sinCcosA=0.
∵0<C<π,sinC>0,
∴cosA=-
1 |
2 |
∴A=
2π |
3 |
(2)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,
即16=b2+c2+bc≥3bc,
故bc≤
16 |
3 |
故△ABC的面积为S=
1 |
2 |
| ||
4 |
4
| ||
3 |
当且仅当b=c=
4
| ||
3 |
4
| ||
3 |
(1)利用数量积之间的关系,结合两角和的三角函数的公式,即可求角A的大小;
(2)若a=4,根据余弦定理,结合三角形的面积公式,即可求△ABC面积的最大值.
(2)若a=4,根据余弦定理,结合三角形的面积公式,即可求△ABC面积的最大值.
正弦定理;平面向量数量积的运算.
本题主要考查解三角形的应用,利用余弦定理以及两角和差的三角公式是解决本题的关键.
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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