题目

对于行列式或矩阵的初等变换,可以同时使用行变换和列变换吗?
听说对于行列式可以同时使用行变换和列变换,
而对于矩阵则只能单独使用行变换或者列变换.
为什么?请给出理由.

提问时间：2020-10-22

答案

楼上你这样其实是在误导小朋友,不要武断地说可以或不可以.
楼主也请注意,先要想清楚你做变换的目的是什么,然后才能考虑行变换或列变换是否能达到这个目的.另外就是要搞清楚行变换和列变换到底是怎么回事,搞不清楚只背出一个可以或者不可以的结论完全没用.
先明确一下,行变换的直观表示相当于左乘一个变换矩阵,列变换则相当于右乘一个变换矩阵,这个一定要搞清楚,比背结论重要多了.
对于行列式而言绝大多数时候是求值,可以随便使用行变换和列变换以及其它手段,算出来就行了,至于为什么可以,自己去看行列式的基本性质,并结合行列式乘积定理来理解.
对于矩阵而言,做什么样的变换就要看需求了,绝大多数时候都是可以使用列变换的,有时甚至是必须同时使用行变换和列变换的.
如果是解方程组Ax=b,那么两种变换都可以用,但不是无条件的.比如行变换就要同时作用于系数矩阵和右端项,列变换则需要保留信息以便最后求解的时候用.
完全按矩阵乘法来写就是说把A变换成C=L*A*R,让C的形式比较简单,然后解出x=R*C^{-1}*L*b,L*b相当于对A作用行变换L的时候在b上也要作用L（可以理解成L的具体形式不需要保留）,然后解方程Cy=Lb得到y,最后x=Ry就要把列变换都还原回去,所以不要在做列变换的时候把R的信息随意扔掉.
另外注意,不要像楼上那样认为使用列变换R是愚蠢的,有些问题使用列变换可以极大地简化,有时甚至是本质性地简化.
如果是求矩阵的秩,那么很显然行列变换可以随意使用,没有什么限制（当然一定要用可逆变换,否则至少自己保证安全性）.
如果要对二次曲面归类,那么这时候本质上需要同时使用行变换和列变换（操作的时候可以只使用单侧变换,另一侧的变换相差一个转置,逻辑上仍然是双侧变换）.
如果要求相似标准型,这个时候必须使用双侧变换,因为相似变换是双侧变换,而且其联系并不像合同变换那样平凡,即便只是操作上使用单侧变换基本上也很难保持信息不丢失.