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题目
关于x的不等式|x-2|<|ax|(a>0)恰有三个正整数解,则a的取值范围为______.

提问时间:2020-10-21

答案
由|x-2|<|ax|(a>0),
可得
|x−2|
|x|
<a

整理,可得1-a
2
x
<1+a

①当1-a=0,即a=1时,
可得x>
2
3
,有无数个正整数解,
所以a=1时,不符合题意;
②当1-a<0时,即a>1时,
x>
2
1+a
,有无数个正整数解,
所以a>1时,不符合题意;
③当1-a>0时,即0<a<1时,
2
1+a
<x<
2
1−a

因为1<
2
1+a
<2
,不等式恰有三个正整数解,
可得不等式的正整数解是从2开始的3个连续正整数,
即不等式的三个正整数解是2、3、4,
所以4<
2
1−a
≤5

解得
1
2
<a≤
3
5

则a的取值范围为(
1
2
3
5
].
故答案为:(
1
2
3
5
].
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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