题目

高二数学关于圆锥曲线的问题
一直圆锥的一个顶点为A（0,-1）,焦点在x轴上,
若右焦点到直线x-y+2√▔2=0的距离为3.
设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M,N当|AM|=|AN|时求m的取值范围

提问时间：2020-10-21

答案

椭圆交点在x轴上,又有一顶点在y轴上,∴其中心必在原点,根据其中一顶点为A(0,-1),可知其半短轴长为1,可设其标准方程为:x^/a^ + y^/1=1
设其右焦点为(c,0)(c>0),则有：a^-1=c^ ①
∵(c,0)到直线x-y+2√2=0的距离为3,根据点到直线的距离公式可列出：
|c+2√2|/√(1+1)=3
c=√2
代入①,可得：a^=3
∴椭圆方程为：
x^/3 + y^=1
椭圆与直线y=kx+m（k≠0）交于不同的M,N两点,设M(x1,y1),N(x2,y2),可联立椭圆与直线方程,消去y,得到关于x的一元二次方程：
(3k^+1)x^-6kmx+(3m^-3)=0
可得：
x1+x2=-6km/(3k^+1) ②
由于M ,N亦在直线y=kx+m上,∴：
y1=kx1+m
y2=kx2+m
y1+y2=k(x1+x2)+2m
将②代入,得：
y1+y2=2m/(3k^+1) ③
设线段MN的中点为P,则根据中点坐标公式可得：
P((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
将②,③代入,可得：
P(-3km/(3k^+1),m/(3k^+1))
因为|AM|=|AN|
∴A在线段MN的垂直平分线上,即：AP⊥MN,∴kAP*kMN=-1 ④
由A(0,-1),P(-3km/(3k^+1),m/(3k^+1)),可得到AP的斜率：
kAP=[m/(3k^+1) -(-1)]/[-3km/(3k^+1)-0]=-(3k^+m+1)/(3km) ⑤
而MN的斜率：kMN=k
联合⑤,代入④：
-(3k^+m+1)/(3km) *k=-1
3k^=2m-1
∵k≠0
∴k^>0
∴2m-1>0
m>1/2