题目

已知{an}是等比数列,公比q>1,其前n项和为Sn,且S3/a2=7/2,a4=4,数列{bn}满足bn=1/(n+log2a(n+1))
1,求数列{an},{bn}的通项公式
2,设数列{bn*b(n+1)}的前n项和为Tn,求证：1/3≤Tn

提问时间：2020-10-21

答案

1
{an}是等比数列
S3/a2=7/2,a4=4
∴(a1+a1q+a1q²)/(a1q)=7/2 ①
a1q³=4 ②
①==> 2q²-5q+2=0 ==>q=2或q=1/2
∵q>1 ∴q=2 代入② ：a1=1/2
∴an=1/2*2^(n-1)=2^(n-2)
bn=1/(n+log₂a(n+1))=1/(2n-1)
2
bn*b(n+1)=1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
∴Tn=1/2[1-1/3+1/3-15+.+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2[1-1/(2n+1)]
∵1/(2n-1)>0 ∴1-1/(2n+1)