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题目
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,E为CD的中点,EF∥AB交BC于点F

(1)求证:BF=AD+CF;
(2)当AD=1,BC=7,且BE平分∠ABC时,求EF的长.

提问时间:2020-10-20

答案
(1)证明:
证法一:如图(1),延长AD交FE的延长线于N
∵AD∥BC,∠C=90°
∴∠NDE=∠FCE=90°
又∵E为CD的中点,
∴DE=EC,
∵∠DEN=∠FEC,
在△NDE和△FCE
∠NDE=∠FCE
ED=CE
∠DEN=∠CEF

∴△NDE≌△FCE(ASA)
∴DN=CF
∵AB∥FN,AN∥BF,
∴四边形ABFN是平行四边形
∴BF=AD+DN=AD+FC
证法二:如图(2),过点D作DN∥AB交BC于N
∵AD∥BN,AB∥DN,
∴AD=BN,
∵EF∥AB,
∴DN∥EF
∴△CEF∽△CDN
CE
DC
=
CF
CN

CE
DC
=
1
2

CF
CN
=
1
2
,即NF=CF
∴BF=BN+NF=AD+FC
(2)∵AB∥EF,
∴∠1=∠BEF,
∵∠1=∠2,
∴∠BEF=∠2,
∴EF=BF,
∵BF=BN+NF=AD+CF,
∴EF=BF=AD+CF=AD+BC-BF=1+7-BF,
∴2BF=8,
∴BF=4,
∴EF=4.
故EF的长为4.
(1)先作AD与EF的延长线,结合已知条件和三角形的相似性质,得出△NDE≌△FCE,然后由平行四边形的性质及判定得出结论.
(2)根据角平分线的性质得出∠1=∠2,再由AB∥EF,得出∠1=∠BEF,∠BEF=∠2,EF=BF,EF=BF=
AD+BC
2
,从而得到结论.

梯形;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质.

本题考查三角形的相似性质、平行四边形的性质及判定以及角平分线的性质的综合运用.

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