题目

证明根号2,5和7是无理数 具体点

提问时间：2020-10-20

答案

1：证明根号2是无理数：
证明：若根号2是有理数,则设它等于m/n（m、n为不为零的整数,m、n互质）
（m/n）^2=根号2 ^2 =2
则 m^2/n^2=2
m^2=2*n^2
所以 m^2是偶数,设m=2k（k是整数）
所以 m^2=4k^2=2n^2
n^2=2k^2
所以 n是偶数
因为 m、n互质
所以 矛盾
所以 根号2不是有理数,它是无理数
2：用反证法证明√5是无理数.
设√5不是无理数而是有理数,
则设√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)
两边平方,5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*)
p^2含有因数5,设p=5m
代入(*),25m^2=5q^2,q^2=5m^2
q^2含有因数5,即q有因数5
这样p,q有公因数5,
这与假设p,q最大公约数为1矛盾,
√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)不成立,
√5不是有理数而是无理数.
3：同理