题目

求函数的定义域和值域
fx=（1/2） 1/-x²+2x+3
1/2为底数, 1/-x²+2x+3为指数

提问时间：2020-10-19

答案

原函数可拆成：
y=(1/2)^t (^是t次方的意思)
t=1/(-x^2+2x+3)
要使函数有意义必须：
(-x^2+2x+3)≠0,即,
(-x+3)(x+1)≠0
x≠-1,且x=3,
以下是判别式法求函数t(x)的值域：
t=1/(-x^2+2x+3)
(-x^2+2x+3)=1/t
x^2-2x+[(1/t)-3]=0
因为关于x的方程有解,所以,
Δ=4-4(1/t-3)≥0
1/t-3≤1
1/t-4≤0
(1-4t)/t≤0
t(t-1/4)≥0
t≥1/4,或t≤0,
因为t≠0.
所以,函数t(x)的值域即函数y(t)的定义域为：
t∈(-∞,0)∪[1/4,+∞)
以下是求原函数的值域：
函数y(t)=(1/2)^t是减函数,
(1)
当ty(0)=1
(2)当t≥1/4时,y≤y(1/4)=(1/2)^(1/4)=1/(⁴√2)
所以原函数的值域为：
(0,⁴√2]∪(1,+∞)