题目

设曲线C是平面内的两个定点F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离的平方和为常数2a^2(a>0)点的轨迹,请研究曲线C,并给出常数a的几何意义.
这是一道让人没有什么思路的题目OAQ

提问时间：2020-10-19

答案

|F1F2|=2c>0,设F1,F2的坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0).
C上任意一点P的坐标为(x,y):
|CF1|^2 + |CF2|^2 = 2a^2
|CF1|^2 = (x+c)^2 + y^2
|CF2|^2 = (x-c)^2 + y^2
(x+c)^2 + y^2 + (x-c)^2 + y^2 = 2a^2
简化得:x^2 + y^2 = a^2 - c^2
a < c时,a^2 - c^2 < 0,曲线C不存在
a = c时,a^2 - c^2 = 0,曲线C是原点
a > c时,a^2 - c^2 > 0,曲线C是以原点为圆心,半径为sqrt(a^2-c^2)的圆 (sqrt为平方根).