题目

已知公差不为零的等差数列{a_n}满足a₅=10，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求数列{

1

Sn

}的前n项和T_n．

提问时间：2020-10-19

答案

（1）由题意，设公差为d，则

a1+4d=10 (a1+2d)2=a1(a1+8d)

∴

a1+4d=10 4d2=4a1d

∵d≠0，∴a₁=2，d=2
∴a_n=2+（n-1）×2=2n；
（2）由（1）知，Sn=

n(2+2n)

2

=n2+n
∴

1

Sn

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

∴数列{

1

Sn

}的前n项和T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

（1）利用公差不为零的等差数列{a_n}满足a₅=10，且a₁，a₃，a₉成等比数列，建立方程组，求得数列的首项与公差，从而可得数列的通项；
（2）先求S_n，再利用裂项法求数列{

1

Sn

}的前n项和T_n．

本题考点：数列的求和；等比数列的通项公式．

考点点评：本题考查数列的通项与求和，解题的关键是确定数列的首项与公差，正确运用求和公式．