题目

已知二次函数Y=X2-〔M2＋8〕X＋2〔M2＋6〕,设抛物线顶点为A,与X轴交于B,C两点,问是否存在实数M,使三角形ABC为等腰直角角形?如果存在,求出M的值；如果不存在,请说明理由.

提问时间：2020-10-18

答案

Y=X^-〔M^＋8〕X＋2〔M^＋6〕 (^表示平方)
=(x-(m^+8)/2)^-(m^+8)^/4+2(m^+6)
=(x-(m^+8)/2)^-(m^+4)^/4
则A点坐标为((m^+8)/2,-(m^+4)^/4)
设x1,x2分别是BC两点的x坐标
则x1+x2=m^+8,x1*x2=2(m^+6)
因AB=AC,要使ABC为等腰直角三角形则BC必为斜边,此时A点到X轴的垂直线段也为BC边的中线即A点y值的绝对值为BC线段的1/2
即2|-(m^+4)^/4|=|x1-x2| (1)
(x1-x2)^=(x1+x2)^-4x1*x2=(m^+8)^-4*2(m^+6)=(m^+4)^
则|x1-x2|=m^+4 (因m^+4>0)
由（1）得(m^+4)^/2=m^+4,(m^+4)^=2(m^+4),m^+4=2,m^=-2
因m为实数,m^>=0,所以不存在m^=-2
即不存在实数M,使三角形ABC为等腰直角三角形