题目

证明不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) （ e^x是指e的x次方 ）
本人是这么做的：
令f（x）=e^x-(1+x)ln(1+x)-1 （求出f（x）>0,就可得出结论）
则f（x）在[0,x]上连续,在（0,x）内可导 ,由中值定理可知：存在a属于（0,x）,使得 f（x）-f（0）=f‘（x）*a 成立
即 e^x-(1+x)ln(1+x)-1=[e^x-ln(1+x)-1]*a 此处a>0 很明显前部分e^x-ln(1+x)-1 >0的
可知 e^x-(1+x)ln(1+x)-1=[e^x-ln(1+x)-1]*a >0,所以不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) 成立
但是最后一步e^x-ln(1+x)-1 >0 怎么求?

提问时间：2020-10-18

答案

首先楼主中值定理用错了,f（x）-f（0）=f‘（a）*x,而不是楼主的 f（x）-f（0）=f‘（x）*a
不过对这题影响不大
这题直接求 f'(x)=e^x-ln(1+x)-1 就行
对 f'(x)求导得到f''(x)=e^x- 1/(1+x)
x＞0时,e^x＞1,1/（1+x）＜1,所以f''(x)＞0恒成立
f‘(x)单调增加
所以f'(x)＞f'(0)=0
f(x)单调增加
f(x)＞f(0)=0