题目

大一高等数学题
1.函数f(x)=x|x(x-1)|的不可导点是?
2.已知lim(x→0)(f(x)-2)/3x=5,求f'(0)
3.y=xsin(1/x),x≠0; 0,x=0,讨论此函数在x=0处的连续性与可导性
4.y=ln(x+√(1+x^2))
第4题的问题是求它的二阶导数

提问时间：2020-10-18

答案

答：
1.
函数在定义域是连续的.
当01-,f'(x)=2x-3x^2=-1；
x->1+,f'(x)=3x^2-2x=1,此时f(x)在x=1处左右导数不相等.f(1)=0
所以不可导点是(1,0)
2.
令F(x)=f(x)-2,则F'(x)=f'(x).由limx->0 F(x)/3x=5,可得F(x)=0,即f(x)=2.
由导数的定义F'(0)=f'(0)=limx->0 [F(0+x)-F(0)]/x
=limx->0 F(x)/x=15
所以f'(0)=15
3.
令f(x)=y,显然f(0)=0；
而sin(1/x)有界,|sin(1/x)|0 xsin(1/x)->0
所以函数连续.
而f'(x)=sin(1/x)-cos(1/x)/x,在x->0+,x->0-导数均不存在.
所以函数在x=0处连续但不可导.
4.
y'=1/(x+√(1+x^2))*(x+√(1+x^2))'
=[1+x/√(1+x^2)]/(x+√(1+x^2))
=1/√(1+x^2)
y''=[1/√(1+x^2)]'
=[(1+x^2)^(-1/2)]'
=(-1/2)*2x*(1+x^2)^(-3/2)
=-x(1+x^2)^(-3/2)