题目

12+22+32+42+……+n2=n+(n+1)(2n+1)/6为什么?
怎么证明啊

提问时间：2020-10-18

答案

1^2+2^2+3^2+4^2+.n^2=?
利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
有个更有趣的证法：
将1^2+2^2+3^3+…+n^2这些数排成三角形的样子：
1
2 2
3 3 3
…………………………
n n ……………………… n n
在这里第n行的和即为n^2.
将三角形分别向左向右旋转120°得到两个新的三角形：
n
n n-1
n n-1 n-2
………………………………
n n-1 …………………………… 2 1
n
n-1 n
n-2 n-1 n
………………………………
1 2 …………………………… n-1 n
将以上三角形同位置的三个数分别相加,得：
2n+1
2n+1 2n+1
2n+1 2n+1 2n+1
……………………………………
2n+1 2n+1 ………………………… 2n+1 2n+1
前三个三角形的和都为1^2+2^2+3^3+…+n^2,最后一个三角形每个数相同,
并且共有n（n+1）/2项,于是和为：n（n+1）/2*（2n+1）,有因为是前三
个三角形相加得到,所以：
3（1^2+2^2+3^3+…+n^2）=n（n+1）/2*（2n+1）
即1^2+2^2+3^3+…+n^2=n（n+1）（2n+1）/6.