题目

已知实数x，y满足xy+1=2x+y，且x＞1，则（x+1）（y+2）的最小值为 ___ ．

提问时间：2020-10-17

答案

∵xy+1=2x+y，且x＞1，
∴x=

y-1

y-2

＞1，解得，y＞2，
∴（x+1）（y+2）=xy+2x+y+2=1+2（2x+y）
=1+2（

2y-2

y-2

+y）=1+2[4+（y-2）+

2

y-2

]
≥1+2[4+2

(y-2)• 2 y-2

]=9+4

2

．
当且仅当x=1+

2

2

，y=2+

2

，（x+1）（y+2）取最小值9+4

2

．
故答案为：9+4

2

可用y表示x，即x=y−1y−2＞1，求出y＞2，代人（x+1）（y+2），并化简得到1+2[4+（y-2）+2y−2]，然后应用基本不等式，求出最小值，并求出x，y的值加以检验即可．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题主要考查基本不等式及应用，解题时应注意变量的范围，同时用一个变量表示另一个变量，这是解题常用的方法，应掌握，最后要检验最值取得的条件．