题目

麻烦证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过0.25
如题,证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过0.25
我是根据试卷上面的提问的。试卷上这个题目也只有这些提示。

提问时间：2020-10-16

答案

事件在一次试验中发生次数,不是0或1嘛!也就是要么发生了,要么没发生!
那么在这个样本空间{x1,x2,.xn}里就是若干个0与若干个1组成
其数学期望E(x)也就是介于0至1之间
其方差D(x)=E(x^2)-E(x)^2
这里应该可以看出对于X的样本空间{x1,x2,.xn}而言,其X^2的样本空间与之完全相同,这是因为对于0或1,其各自的平方也分别是0或1
因此,两个相同的样本空间,它们的数学期望也必然相等
即E(x^2)=E(x)
那么方差D(x)=E(x^2)-E(x)^2=E(x)-E(x)^2
这里E(x)介于0至1之间
这就是相当于在求f(x)=x-x^2在(0,1)的取值范围
很显然在这个区间内f(x)介于(0,1/4)之间
所以D(x)不超过0.25