题目

在平面直角坐标系xoy中,已知圆C1：（x+3）²+（y-1）²=4和圆C2：(x－4)²＋(y－3)²＝4.
（1）若直线l过点A（2,0）,且被圆C1截得弦长为2倍根号3,求直线l的方程.
(2)设P为平面上的点,满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标．
说明：网上的题目与本题不一样.请不要直接粘贴答案.

提问时间：2020-10-16

答案

(1)
设y=k(x-2)
变成一般式为kx-y-2k=0
垂径定理得
C1圆心(-3,1)到直线kx-y-2k的距离=√(2²-3)=1
点到直线距离公式得
|-3k-1-2k|/√(k²+1)=1
解得k=0或-5/12
∴直线L为y=0或y=-5/12(x-2)
(2)
设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为：
y-n=k(x-m),y-n=-1/k(x-m)
即kx-y+n-km=0,-x/k-y+n+m/k=0
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等
由垂径定理,得：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等
∴|-3k-1+n-km|/√(k²+1)=|-4/k-3+n+m/k|/√(1/k²+1)
化简
|3k+1-n+km|=|4+3k-nk-m|
打开绝对值化简得
(m+n)k=3+n-m或(m-n+6)k=m+n-5
关于x的方程有无穷多解,有：m+n=0,3+n-m=0或m-n+6=0,m+n-5=0
解得：点P坐标为(3/2,-3/2)或(-1/2,11/2)
如果你认可我的回答,请点击“采纳回答”,祝学习进步!