题目

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，n∈N^*，证明：T_n-8=a_n-1b_n+1（n∈N^*，n≥2）．

提问时间：2020-10-15

答案

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由a₄+b₄=27，S₄-b₄=10，得方程组

2+3d+2q3＝27 8+6d−2q3＝10

，
解得

d＝3 q＝2

，
所以：a_n=3n-1，b_n=2ⁿ．
（2）证明：由第一问得：T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ；   ①；
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）×2ⁿ+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②．
由①-②得，-T_n=2×2+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=

6×(1−2n)

1−2

-（3n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8．
即T_n-8=（3n-4）×2ⁿ⁺¹．
而当n≥2时，a_n-1b_n+1=（3n-4）×2ⁿ⁺¹．
∴T_n-8=a_n-1b_n+1（n∈N^*，n≥2）．

（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．
（2）先借助于错位相减法求出T_n的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立．

本题考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．

考点点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．