题目

已知函数f(x)=ax-Inx,若f(x)>1在区间（1,正无穷）内恒成立,则实数a的范围为

提问时间：2020-10-15

答案

答：a>=1
请看分析：f(x)=ax-lnx,若f(x)=ax-lnx>1,在(1,+oo)上恒成立,
分离常数a即a>(1+lnx)/x在(1,+oo)上恒成立,
该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(1+lnx)/x,x>1.
补充定义h(1)=1,则易知h(x)在x=1处连续.求导易得h'(x)=-lnx/x^21),得h(x)在(1,+oo)递减,
于是maxh(x)=(x-->1)limh(x)=h(1)=1,
由于x>1,故h(x)maxh(x),得a的取值范围：a>=1.此时命题就恒成立了
（需要细细理解取等号.）