题目

一道高一数学题（函数部分）
关于函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=1/f(x),若f(1)=-5,则f〔f(5)〕为多少?（答案为 -1/5,麻烦给一下过程）

提问时间：2020-10-15

答案

解法一:赋值递推就可以得到了.
依题意有f(1+2)=1/f(1),得f(3)=-1/5,
f(3+2)=1/f(3),得f(5)=-5,所以f〔f(5)〕=f(-5)
f(-1+2)=1/f(-1),def(-1)=-1/5
f(-3+2)=f(-3),def(-3)=-5
f(-5+2)=f(-5),def(-5)=-1/5
解法二：f(x+2)=1/f(x),即f(x+2)f(x)=1,那么变量取x-2得
f(x)f(x-2)=1,对照两式,可以得出f(x+2)=f(x-2),
这是一个周期为4,变量差2时就互倒的函数
所以f(5)=f(1)=-5.
所以f(-5)=f(-1)=1/f(1)=-1/5