题目

直线的方程,写出详细经过
过点P（2,1）作直线L交x、y正半轴于A、B两点,当|PA|*|PB|取得最小值时,求直线L的方程

提问时间：2020-10-15

答案

方法一:
可令直线l的方程为y-1=k*(x-2)
求出坐标A(-1/k +2,0),B(0,-2k+1)
再求出|PA|=根号(1/k^2 +1),|PB|=2*根号(k^2+1)
所以|PA|*|PB|=2根号(1/k^2 +1)*根号(k^2+1)
=2*根号[(1/k^2 +1)(k^2+1)]
=2*根号[2+k^2 + 1/ k^2]
>=2*根号(2+2)
=4
要取等号必须 k^2 =1/ k^2 得k=±1
又直线l交x,y轴正半轴
因此k只能取－1
所以直线l的方程为 y=－x+3
简单的方法：
参数法：
直线方程为
x=2+t*cosα
y=1+t*sinα
可得|PB|＝|2/cosα|, |PA|＝|1/sinα|
|PA||PB|=|(2/cosα)*(1/sinα)|
=|2/(cosα*sinα)|
=|4/sin2α|
>=4
当sin2α=1即α＝45度或135度时最小（α是直线与x正半轴的成的角）
又直线l交x,y轴正半轴
所以α＝135度
即直线的斜率为－1
其他同上