题目

1.在1.2.3.4.…98 共98个自然数中,能够表示两整数的平方差的个数是多少个?
2.数码不同的两位数,将其数码顺序交换后,得到一个新的两位数,这两个两位数的平方差是完全平方数,求所有这样的两位数.
3.求证：连续3个奇数的平方和加1能被12整除,但不能被24整除.
4.设a.b.c.d满足a≤b,c≤d,a+b≠c+d≠0,以及a^3+b^3=c^3+
d^3.证明：a=c b=d

提问时间：2020-10-15

答案

1、设a*a-b*b=(a+b)(a-b)=M(1,2,3,……98中的某个数),则M必定不是质数
a+b与a-b奇偶性相同
M若为偶数,则必为4的倍数
98以内的数能分解质因数的数均为2,3,5,7的倍数（91=7*13）
首先考虑2的倍数,必须是2的偶数倍才符合且一定符合（M若为偶数,则必为4的倍数,）,共24个
若M为奇数
考虑3,5,7的倍数,必须是3,5,7的奇数倍才符合（若是偶数倍,则按上述2的倍数考虑）,共16+10+7共33个,其中考虑15,45,75,21,63,35个考虑了两次
共所求为24+33-6=51个
2、设换位前的数比较大,为10a+b,换位后则为10b+a,(1