题目

如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝

2

a．

（1）求证：面PAB⊥面ABC；
（2）求PC和△ABC所在平面所成角．

提问时间：2020-10-15

答案

（1）取AB的中点O，连PO，CO．
∵PA=PB，OA=OB，∴PO⊥AB．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴OA=OB=OC，
∵PA=PB=PC，PO是公用边
∴△POA≌△POB≌△POC，得∠POA=∠POB=∠POC=90°，
∴PO⊥CO，
∵AB⊥CO，AB∩PO=O，∴PO⊥平面ABC，
∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．
（2）由（1）知PO⊥平面ABC，
∵PO⊥平面ABC，∴CO是PC在平面ABC内的射影，
所以∠PCO是PC和平面ABC所成角．
∵PO＝

PB2−OB2

＝

6

2

a，PC＝

2

a，
∴Rt△PCO中，sin∠PCO=

PO

PC

＝

3

2

，得∠PCO=60°
即PC和△ABC所在平面所成角为60°．

（1）取AB的中点O，连PO，CO．等腰△PAB中，可得PO⊥AB．利用边角边公理，得△POA≌△POB≌△POC，得∠POA=∠POB=∠POC=90°，PO⊥CO，结合AB⊥CO，得PO⊥平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC．
（2）由PO⊥平面ABC，得CO是PC在平面ABC内的射影，所以∠PCO是PC和平面ABC所成角．Rt△POC中，利用正弦的定义算出sin∠PCO的值，即可得出PC和△ABC所在平面所成角为60°．

本题考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

考点点评：本题给出底面为等腰直角三角形，三条侧棱都等于斜边长的三棱锥，求证面面垂直并求直线与平面所成角的大小，着重考查了空间垂直位置关系的证明和线面角的求法等知识，属于中档题．