题目

如图,已知抛物线y=-x2+4x+3与y轴交与点A,与x轴正半轴交与点D,顶点为点B,抛物线的对称轴交x轴于点c,M是
线y=kx上一个动点,过点M做MN垂直BC并交BC于点N,以MN为边在它的上方做正方形MNPQ,过点Q,A做一直线
1）当K=2时,是否存在点M,是的正方形MNPQ的面积等于四边形AOMQ的面积,若存在,请求出点M的坐标
2）在K的变化过程中,要使得点M在抛物线上,且四边形AOMQ为平行四边形,请求出满足条件的K值及平行四边形AOMQ的面积

提问时间：2020-10-14

答案

1）当K=2时,假设存在点M（a,2a）,那么MN=MQ=|2-a|
AO//MQ,因此四边形AOMQ是梯形,面积等于（MQ+AO）*M到y轴的距离/2=（3+|a|)*|a|/2
正方形MNPQ的面积=（2-a）的平方.
解方程（3+|2-a|)*|a|/2=（2-a）的平方 得[分三段解,当a大于等于2,当a大于等于0小于2,a小于0]
a=1,或a=（13-根号下73）/6
得出M的坐标为（1,2）或（（13-根号下73）/6,（13-根号下73）/3）
2）假设M（a,ka）
M在抛物线上,因此ka=-a2+4a+3
又四边形AOMQ为平行四边形
因此MQ=MN=|2-a|=AO=3
解方程组得分a大于等于2,a小于2两段进行解题得
a=5,k=-2/5,四边形AOMQ的面积=3*|a|=15
或者a=-1,k=2,四边形AOMQ的面积=3*|a|=3