题目

已知函数fx=ln(e^x+a)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λfx+sinx是区间[-1,1]上的减函数
1,求gx在x∈[-1,1]上的最大值
2,若gx≤t^2+λt+1对∨x∈[-1,1]及λ∈（-∞,-1]恒成立,求t的取值范围

提问时间：2020-10-13

答案

⑴∵f(x)是在R上的奇函数,
∴f(0)=ln(1+a)=0,
∴a=0,
∴g(x)=λln(e^x+0)+sinx=λx+sinx,
∵g(x)在[-1,1]上单调递减,
∴g(x)在[-1,1]上的最大值为g(-1)=-λ-sin1；
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⑵λ∈(-∞,-1]保证了g(x)是区间[-1,1]上的减函数,【可以通过导数来证明】
要使若g(x)≤t^2+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,
只需-λ-sin1≤t^2+λt+1←注意这是个常数,
∴h(λ)=(1+t)λ+t^2+1+sin1≥0在λ∈(-∞,-1]上恒成立,【以λ为自变量的函数】
①当1+t=0时,t=-1,
h(λ)=t^2+1+sin1=2+sin1>0,
成立；
②当1+t-1,
h(λ)显然不可能恒大于等于零,
不成立；
综上,t≤-1．