题目

若函数f（x）=log_ax在[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a=______．

提问时间：2020-10-13

答案

当0＜a＜1时，f（x）=log_ax在[2，4]上单调递减
故函数的最大值为f（2），最小值为f（4）
则f（2）-f（4）=log_a2-log_a4=log_a

1

2

=2，解得a=

2

2

当a＞1时，f（x）=log_ax在[2，4]上单调递增
故函数的最大值为f（4），最小值为f（2）
则f（4）-f（2）=log_a4-log_a2=log_a2=2，解得a=

2

故答案为：

2

2

或

2

本题考查的知识点是对数函数的性质，观察到题目中的对数函数底数不确定，故要对底数进行分类讨论，然后根据单调性进行判断函数在[2，4]上的最大值与最小值，根据最大值与最小值之差为2构造方程即可求解．

本题考点：对数函数的值域与最值；函数的最值及其几何意义．

考点点评：在处理指数函数和对数函数问题时，若对数未知，一般情况下要对底数进行分类讨论，分为0＜a＜1，a＞1两种情况，然后在每种情况对问题进行解答，然后再将结论综合，得到最终的结果．