题目

已知x>0,y>0 求证∶(x2+y2)^(1/2)>(x3+y3)^(1/3)
用综合法

提问时间：2020-10-12

答案

把根指数都化成6
左边的被开方数＝(x^2＋y^2)^3
　　　　　　　＝x^6＋3x^4*y^2＋3*x^2*y^4＋y^6
右边的被开方数＝(x^3＋y^3)^2
　　　　　　　＝x^6＋2x^3*y^3＋y^6
转化为比较3x^4*y^2＋3*x^2*y^4与2x^3*y^3的大小
作差：3x^4*y^2＋3*x^2*y^4－2x^3*y^3
　　　≥2√(3x^4*y^2*3*x^2*y^4)－2x^3*y^3
　　　＝6x^3*y^3－2x^3*y^3
　　　＝4x^3*y^3
　　　＞0
所以原不等式得证