题目

一个数的完全平方数有35个约数,求该数的约数个数共有多少个

提问时间：2020-10-12

答案

对于任意一个数 a,设 a 的质因数分解为：
a = p1^n1 * p2^n2 * ...* pr^nr
那么 a 的约数个数是：(n1+1)(n2+1)...(nr+1)
回到我们的问题.
x^2 有 35个约数.
因为 x^2 是完全平方数,所以它的质因数分解中,每个指数 ni 都是偶数.
所以,35 = (n1+1)(n2+1)...(nr+1),其中 ni 都是偶数.
35 = 1 * 35 = 5 * 7
所以,x^2 有两种可能的形式：
(1) x^2 = p^34
(2) x^2 = p1^4 * p2^6
对第(1)种情形,x = p^17,所以 x 有18个约数.
对第(2)种情形,x = p1^2 * p2^3,所以 x 有(2+1)(3+1) = 12个约数.