题目
已知函数f(x)=x2-mx+m-1.
(1)若函数y=lgf(x)在[2,4]上有意义,求实数m的取值范围;
(2)若函数y=|f(x)|在[-1,0]上单调递减,求实数m的取值范围;
(3)若对于区间[2,
]
(1)若函数y=lgf(x)在[2,4]上有意义,求实数m的取值范围;
(2)若函数y=|f(x)|在[-1,0]上单调递减,求实数m的取值范围;
(3)若对于区间[2,
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提问时间:2020-07-25
答案
(1)若函数y=lgf(x)在[2,4]上有意义,
则x2-mx+m-1>0,对任意的x∈[2,4]恒成立,
即m(x-1)<x2-1对任意的x∈[2,4]恒成立,
即m<x+1对任意的x∈[2,4]恒成立,
∴m<3
故实数m的取值范围(-∞,3)…(5分)
(2)令x2-mx+m-1=0,解得x=1或x=m-1
当m-1≥1,即m≥2时,函数f(x)在[-1,0]上恒非负且减,满足条件;
当m-1<1,即m<2时,若函数y=|f(x)|在[-1,0]上单调递减,
则m-1≥0或
≤−1
解得m≤-2
综上所述:m≤-2或m≥1
故实数m的取值范围(-∞,-2]∪[1,+∞)…(10分)
(3)若对于区间[2,
]内任意两个相异实数x1,x2,
且f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2-m)|(x1-x2)(x1+x2-m)|≤|x1-x2|(x1≠x2)恒成立,…12分
则|m-(x1+x2)|≤1对任意的x1,x2在[2,
]上恒成立.
则(x1+x2)-1≤m≤(x1+x2)+1恒成立…(14分)
∴4≤m≤5
故实数m的取值范围为[4,5]…(16分)
则x2-mx+m-1>0,对任意的x∈[2,4]恒成立,
即m(x-1)<x2-1对任意的x∈[2,4]恒成立,
即m<x+1对任意的x∈[2,4]恒成立,
∴m<3
故实数m的取值范围(-∞,3)…(5分)
(2)令x2-mx+m-1=0,解得x=1或x=m-1
当m-1≥1,即m≥2时,函数f(x)在[-1,0]上恒非负且减,满足条件;
当m-1<1,即m<2时,若函数y=|f(x)|在[-1,0]上单调递减,
则m-1≥0或
m |
2 |
解得m≤-2
综上所述:m≤-2或m≥1
故实数m的取值范围(-∞,-2]∪[1,+∞)…(10分)
(3)若对于区间[2,
5 |
2 |
且f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2-m)|(x1-x2)(x1+x2-m)|≤|x1-x2|(x1≠x2)恒成立,…12分
则|m-(x1+x2)|≤1对任意的x1,x2在[2,
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则(x1+x2)-1≤m≤(x1+x2)+1恒成立…(14分)
∴4≤m≤5
故实数m的取值范围为[4,5]…(16分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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