题目

菱形ABCD中,点E、F分别在BC、CD边上,且∠EAF=∠B . (1).如果∠B=60°,求证：AE=AF；
(2).如果∠B=α,（0°＜α＜90°）（1）中的结论：AE=AF是否依然成立,请证明;
(3).如果AB长为5,菱形ABCD面积为20,设BE=x,AE=y,求y关于x的函数解析式,兵写出定义域.

提问时间：2020-10-11

答案

（1）连接AC.不难得出以下结论：∠CAB=∠ACD=60°,AC=AB,
因为∠EAF=∠B=60°,所以,∠EAF-∠EAC=∠BAC-∠EAC,即∠CAF=∠BAE.
所以,三角形ABE全等三角形ACF,所以,AE=AF.
（2）（1）结论仍然成立.作AM垂直BC于M,AN垂直CD于N,显然,AM=AN,∠MAN=∠B=α.∠AME=∠ANF=90°.
因为∠EAF=∠B=∠MAN,所以,∠EAF-∠MAF=∠MAN-∠MAF（如果图画的稍不同,可能是减∠EAN）,所以,∠EAM=∠FAN,所以,三角形EAM全等于三角形FAN,所以,AE=AF.
（3）当AB=5,S菱形ABCD=20时,AM=4,BM=3,所以,EM=|x-3|.
在直角三角形EAM中,由勾股定理有,AE=根号（EM^2+AM^2),
即有,y=根号（（x-3）^2+16)=根号（x^2-6x+25）.
因为点E在边BC上,所以x大于0且小于5（带等号也可以）.