题目

二次非齐次微分方程特解
RT,怎么求
比如y''-4y'+4y=f(x)
或者说一般一点的y''-(a+b)y'+aby=f(x) （*） （a,b为常数）
的特解怎么求
仅限于考研的水平,是不是对f(x)有什么要求
也就是说,满足什么样条件的f(x),对*式可以有一个一般性的特解的求法.

提问时间：2020-10-11

答案

你要特解,其实特解和你的通解是有关系的,我就把一般算法给你总结出来了,是我自己的复习笔记,
二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步：求特征根：
令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,（这里可以是复数,例如(βi)²=-β²）
第二步：
若r1≠r2,则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步：
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,（注：P（x）是关于x的多项式,且λ经常为0）
则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式,例如P（x）是x²+2x,则设Q（x）为ax²+bx+c,abc都是待定系数)
若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
若α+βi不是特征根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
若α+βi是特征根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）
第四步：解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程,对照系数解出待定系数.
最后结果就是y=通解+特解
通解的系数C1,C2是任意常数
有问题可以再问我,拿例子的话好说明问题.