题目

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

提问时间：2020-10-10

答案

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意有2（a₃+2）=a₂+a₄，（1）
又a₂+a₃+a₄=28，将（1）代入得a₃=8．所以a₂+a₄=20．
于是有

a1q+a1q3＝20 a1q2＝8

解得

a1＝2 q＝2

或

a1＝32 q＝ 1 2

又{a_n}是递增的，故a₁=2，q=2．
所以a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1．
故Sn＝

n2+3n

2

．

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，利用等差中项的性质及题设条件求得a₃的值，进而求得a₂+a₄的值，用a₁和q分别表示出a₂，a₃，a₄，根据题意建立方程组，求得a₁和q的值，则等比数列的通项公式可得．
（Ⅱ）把（1）中求得的a_n代入b_n=log₂a_n+1，求得b_n的表达式，进而同等差数列的求和公式求得答案．

本题考点：等比数列的通项公式；数列的求和．

考点点评：本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．考查了学生对数列基本知识的掌握．