题目

排列组合和概率
已知甲盒装有大小相同7个分别写着“2008”和“北京奥运”的球,乙盒装有大小相同的2个写着“2008”的球和4个写着“北京奥运”的球.已知从甲盒子中取出的2个球都写着“2008”的概率为1/7,现从甲,乙两个盒内各取2个球
（1）求甲盒写着“北京奥运”的球的个数
（）设X为取出4个球中写着“北京奥运”的球的个数,求X的分布列和数学期望

提问时间：2020-10-09

答案

【解】
(1)
设X是从从甲盒里拿出写着“2008”的球的个数 ,n是甲盒中“2008”的球的个数
则X服从超几何分布,即X~H(2,n,7)
P(x=2)=C(n,2)*C(7-2,0)/C(7,2)=1/7
(n(n-1)/2·1)/21=1/7
所以n=3,甲盒中有3个球写着"2008",4个球写着"北京奥运".
(2)
设Y是甲盒子中取出的2个球中写着“北京奥运”的球的个数
Z是乙盒子中取出的2个球中写着“北京奥运”的球的个数
所以Y~(2,4,7),(2,4,6)
P(Y=0)=C(4,0)*C(3,2)/C(7,2)=1/7
P(Y=1)=C(4,1)*C(3,1)/C(7,2)=4/7
P(Y=2)=C(4,2)*C(3,0)/C(7,2)=2/7
P(Z=0)=C(4,0)*C(2,2)/C(6,2)=1/15
P(Z=1)=C(4,1)*C(2,1)/C(6,2)=8/15
P(Z=2)=C(4,2)*C(2,0)/C(6,2)=6/15
P(X=0)=P(Y=0)*P(Z=0)=1/7*1/15=1/105
P(X=1)=P(Y=0)*P(Z=1)+P(Y=1)*P(Z=0)=1/7·8/15+4/7·1/15=4/35
P(X=2)=P(Y=0)*P(Z=2)+P(Y=1)*P(Z=1)+P(Y=2)*P(Z=0)
=1/7·6/15+4/7·8/15+2/7·1/15=8/21
P(X=3)=P(Y=1)*P(Z=2)+P(Y=2)*P(Z=1)
=1/7·6/15+4/7·8/15=8/21
P(X=4)=P(Y=2)*P(Z=2)=2/7*6/15=4/35
所以随机变量X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
------------------------------------
P |1/105| 4/35| 8/21| 8/21| 4/35|
因为Y~(2,4,7),(2,4,6)
所以E(Y)=2*4/7=8/7,E(Z)=2*4/6=4/3
E(X)=E(Y)+E(Z)=8/7+4/3=52/21（也可根据X分布列求解,结果也是52/21）
答：求甲盒写着“北京奥运”的球有4个,X的数学期望为52/21.