题目

已知函数f（x）=x²+2x+alnx在（0，1）上单调，则实数a的取值范围是（　　）
A. a≥0
B. a≤-4
C. a≤-4或a≥0
D. -4≤a≤0

提问时间：2020-10-09

答案

求导数可得f′（x）=2x+2+

a

x

（x＞0）．
∵函数f（x）在（0，1）上单调，
∴f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，或f′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
由2x+2+

a

x

≥0，x∈（0，1），可得a≥（-2x²-2x）_max，x∈（0，1）．
令g（x）=-2x²-2x=−2(x+

1

2

)2+

1

2

，则g（x）在（0，1）单调递减．
∴g（x）＜g（0）=0．∴a≥0．
由2x+2+

a

x

≤0，x∈（0，1），可得a≥（-2x²-2x）_min，x∈（0，1）．
令g（x）=-2x²-2x=−2(x+

1

2

)2+

1

2

，则g（x）在（0，1）单调递减．
∴g（x）＞g（1）=-4．∴a≤-4．
综上可得实数a的取值范围是：a≤-4或a≥0
故选C．