题目

已知函数y＝sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x，求：
（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；
（2）函数y的单调递增区间．

提问时间：2020-10-08

答案

（1）∵y＝sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x=2sin（

1

2

x+

π

3

），
∴y_max=2，y_min=-2，其最小正周期T=

2π

1 2

=4π；
（2）由2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：4kπ-

5π

3

≤x≤4kπ+

π

3

（k∈Z），
∴函数y的单调递增区间为[4kπ-

5π

3

，4kπ+

π

3

]（k∈Z）．

（1）利用辅助角公式将y＝sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x转化为：y=2sin（

1

2

x+

π

3

），从而可求函数y的最大值，最小值及最小正周期；
（2）由2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得函数y的单调递增区间．

本题考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．

考点点评：本题考查正弦函数的单调性及周期性与最值，着重考查正弦函数的图象与性质的灵活应用，属于中档题．